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Filosofía de la aritmética (1891)
Filosofía de la aritmética. Investigaciones lógicas y sicológicas (Philosophie der Arithmetik. Psychologische und logische Untersuchungen) es un libro de Edmund Husserl de mil ochocientos noventa y uno. El libro trata, primordialmente, 2 inconvenientes fundamentales: por una parte, versa sobre el desarrollo lógico y sicológico del término de número enteropositivo por medio de la actividad de contar; y, por otro, pretende aclarar el término de conjunto (Menge) en las matemáticas. Filosofía de la aritmética parte en gran medida de los análisis matemáticos efectuados por Weierstraß (el profesor de Husserl en Berlín) y del trabajo filosófico de Franz Brentano. Del primero, Husserl reanuda la idea de que la aritmética es la base de todas y cada una de las disciplinasmatemáticas y la de que el término de número entero (cardinal) es un término “primitivo” o bien “primario” de la aritmética; de Brentano, por su lado, Husserl reanuda múltiples conceptos de "sicología experimental", los que emplea como instrumental metódico para su trabajo filosófico sobre la aritmética. Las cuestiones que presenta Filosofía de la aritmética se abren en 2 perspectivas: primero se una parte de los aspectos "sicológicos" de la experiencia (Erfahrung) matemática, con el interrogante por el “origen” sicológico de los números, los símbolos, etcétera - tratando con esto de destacar el modo perfecto de darse intuitivo de exactamente los mismos -, y seguidamente se estudia el aspecto "lógico" de esta experiencia matemática, esto es, se pregunta por la fundación objetiva del término de número. Lo precedente significa, fundamentalmente, que Husserl plantea una distinción esencial entre lo material y lo formal o bien, dicho de otra manera, entre representaciones genuinas o bien intuitivas (lo que una representación contiene) y representaciones inauténticas o bien simbólicas (lo que una representación significa). La cuestión de fondo es que Husserl, al empezar por describir de manera intuitiva los conceptos matemáticos y geométricos de pluralidad, unidad y número basado solo en actos subjetivos específicos, da a comprender que continúa en el plano psicológico; pero, este plano es solo el comienzo para un desarrollo ulterior donde se agregará una fundamentación objetiva reemplazando los conceptos genuinos por los inauténticos. Con más precisión, el contenido de una representación (geométrica, aritmética, etcétera) se torna alcanzable primero como fenómeno sicológico (aun individual) mas después deriva en un sistema (objetivo y formal), lo que lleva consigo un análisis lógico-deductivo cuyo interés es la fundamentación de una arithmetica universalis que se funda por su parte sobre una arithmetica abundante. Mas ¿qué es número conforme Husserl? La contestación de Husserl es que, salvo el uno, los números naturales solo se predican de conjuntos de objetos, y solo se predican de lo colectivo por el hecho de que están compuestos de partes numerables; por poner un ejemplo, predicamos de determinado “conjunto de naranjas” que tiene 7 elementos y no que “una naranja es siete”. Además de esto, a juicio de Husserl la relación entre los números asimismo es “temporal”: prueba de ello es la “sucesión” y la “simultaneidad” con que se nos dan, siendo entonces la sucesión del tiempo un requisito indispensable para la capacitación de los conceptos numéricos, como es asimismo su irrepetibilidad, puesto que nos deja distinguir entre un número y otro; mejor todavía, es la irrepetibilidad de un número, cree Husserl, un criterio para mantener la posibilidad de la individualización de un número. Por poner un ejemplo, en una adición como tres + tres, cada número natural (3) debería ser diferente para poder distinguirse: en caso contrario, la suma no sería “seis” sino más bien “tres”. La indagación husserliana no concluye acá, puesto que para el pensador moravo es claro que la pluralidad o bien los conjuntos son un género cuyo dominio son los números. Esto explicaría por qué razón al ver una noche estrellada puedo apreciar que no contemplo una sola estrella sino más bien múltiples estrellas, mas como dadas en un acto de percepción. Justo por este motivo, Husserl se pregunta: « ¿de qué forma es posible explicar en sí el notable hecho de que exactamente el mismo contenido nos aparece ahora como “uno” (eines) y en otra ocasión como “múltiple” o bien “mucho” (vieles) » El núcleo de la argumentación de Husserl sobre un conjunto es que este no es una pura y simple suma de sus miembros, sino está constituido por una conexión interna o bien link colectivo (kollektive Verbindung). El “enlace colectivo” es un acto psíquico complejo cuyo contenido es exactamente la representación de la multiplicidad de esos contenidos, por este motivo nos deja aprender tanto el “destacamiento” como la representación de los contenidos lógicos de los conjuntos y de las representaciones numéricas. Lo precedente lleva a Husserl a distinguir entre conjuntos finitos o bien sensibles y conjuntos infinitos o bien categoriales. Los conjuntos finitos se ubican al nivel de la percepción sensible y los formamos del siguiente modo: cuando vemos una parvada de golondrinas cruzar el horizonte “atendemos” a alguna de ellas; estas, cuando miembros “atendidos”, están en relación de “fusión” (verschmolzen) con los otros miembros no-aprehendidos: las otras golondrinas que no pudimos “atender”. Dicha fusión supone lo que Husserl llama “cuasi-cualidades” (cualidad sensible de orden superior), que no son otra cosa más que peculiaridades sensibles inherentes al conjunto y que a través de una “asociación” que una parte de los miembros atendidos y se extiende a los no-atendidos nos deja aprehenderlo como tal, como un conjunto.Pero existen otro género de conjuntos que asimismo son analizados en Filosofía de la aritmética y que, a juicio de Husserl, merecen un énfasis singular, pues tienen una extensión más extensa que los sensibles.Son conjuntos integrados por cientos, miles o bien quizá millones de miembros. Semejantes conjuntos, a los que nuestra percepción de conjunto no tiende directamente, son producto de la idealización o bien categorización; a estos los llama Husserl, “conjuntos infinitos” (unendliche Mengen). En verdad « el conjunto de la serie numérica de los números naturales en extensión simbólica es infinito , es el conjunto infinito por excelencia. Las preguntas que brotan ahora son: Husserl responderá que para la “aprehensión” de un conjunto infinito se da un paso afín al dado con los conjuntos sensibles. Puesto que no podemos “intuir” sensiblemente (y menos representarnos simultáneamente) toda la serie numérica o bien cualquier conjunto “infinito”, partimos de la constitución o bien capacitación de ciertos miembros de tal conjunto (este es el paso sicológico) para seguir con una construcción simbólica de semejante conjunto que continuamente se va a estar expandiendo o bien iterando (este es el paso lógico). La Filosofía de la aritmética muestra el profundo conocimiento del Zeitgeist que en aquel momento se respiraba, a saber, el intento por basar la construcción de las matemáticas: primero Cantor, entonces Hilbert y finalmente Gödel, todos interlocutores del creador de la fenomenología. Husserl mismo contribuyó con su Filosofía de la aritmética, texto que cargaba fuertes consideraciones filosóficas que se tornarían más perceptibles con la publicación en mil novecientos-mil novecientos uno de las Investigaciones lógicas (Logische Untersuchungen), cuyos planteamientos, en ciertos casos, reanudan lo dicho en Filosofía de la aritmética (véase la tercera investigación lógica) y en otros los rechaza (el primer capítulo de la quinta investigación lógica). De cualquier modo, es obvio que con este texto Husserl abriría paso a uno de los proyectos más esenciales del siglo XX: la fenomenología trascendental.El camino de la filosofía de la aritmética: análisis lógico y psicológico
El término de número natural (Zahl)
El término de conjunto (Menge)
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